În unul din numerele Gazetei de Matematică și Fizică din 1962 a fost publicată o problemă dată la Bacalaureratul din 1960, din Tunisia:
«Pentru un loc situat la 53°27′ latitudine nordică să se calculeze lungimea umbrei pe sol a unui pilon vertical de înălţime h, cînd Soarele trece la meridian, in ziua solstiţiului de vară».
Aparent este o problemă de matematică (necesită cunoașterea unghiurilor, funcțiilor trigonometrice și utilizarea relațiilor trigonometrice), dar rezolvarea ei necesită și cunoștințe de astronomie și geografie.
Este important să se înțeleagă concepte precum unghiul de elevație al Soarelui și influența poziției geografice (latitudine) asupra unghiului de elevație și, implicit, asupra lungimii umbrei.
Astfel, rezolvarea problemei combină cunoștințe matematice (trigonometrie), cunoștințe despre astronomie (unghiul de elevație al Soarelui) și cunoștințe geografice (latitudinea locului). În general, multe probleme din știință și matematică pot implica interdisciplinaritatea, în care cunoștințe din mai multe domenii sunt combinate pentru a ajunge la o soluție completă.
Cum se rezolvă?
Pentru a calcula lungimea umbrei pe sol a unui pilon vertical înălțime h într-un anumit moment al zilei, vom utiliza geometria trigonometrică și cunoștințele despre unghiurile de elevație ale Soarelui.
În cazul nostru, dorim să calculăm lungimea umbrei la momentul în care Soarele trece la meridian în ziua solstițiului de vară. În această zi, unghiul de elevație al Soarelui la amiază va fi cel mai înalt în decursul întregului an.
Pentru a calcula lungimea umbrei, vom folosi următorii pași:
Convertim gradele, minutele și secundele latitudinii într-o valoare decimală. Pentru latitudinea de 53°27′, avem 53 + 27/60 = 53,45 grade latitudine nordică.
Determinăm unghiul de elevație al Soarelui la amiază în ziua solstițiului de vară. Acesta este complementul valorii latitudinii noastre. Deoarece latitudinea noastră este nordică, unghiul de elevație al Soarelui va fi: 90° – 53,45° = 36,55°.
Folosind unghiul de elevație al Soarelui, putem aplica trigonometria pentru a calcula lungimea umbrei. Deoarece pilonul este vertical, umbra sa formează un triunghi dreptunghic împreună cu solul.
Lungimea umbrei (L) poate fi calculată utilizând relația trigonometrică:
tan(36,55°) = h / L
Rearanjând această ecuație, obținem:
L = h / tan(36,55°)
Acum putem introduce în ecuație înălțimea pilonului (h) pentru a calcula lungimea umbrei (L).
Dacă înălțimea pilonului (h) este de 1 metru, putem utiliza formula menționată anterior pentru a calcula lungimea umbrei (L):
L = 1 / tan(36,55°)
